Räta linjens ekvation (Matte 1, Funktioner)

Räta linjens ekvation beskriver ett linjärt samband mellan två variabler, $y$ och $x$. Linjen ritas som rak linje i ett koordinatsystem.

Räta linjens ekvation skrivs

$$y=kx+m$$

Där $k$ och $m$ är konstanter som avgör sambandet mellan variablerna $x$ och $y$. Konstanten $k$ anger linjens lutning och $m$ anger vid vilket värde som linjen skär y-axeln, då $x=0$.

Exempel 1

Antag att konstanterna $m=5$ och $k=1$. Denna räta linjes ekvation är:

$$y=1\cdot x+5=x+5$$

Exempel 2

Den räta linjen $y=2x+3$ har följande graf:

Linjen skär y-axeln vid $y=3$, som vi kan läsa av via m-värdet, då $x=0$.

Lutningen $k$ hittas genom att studera hur stegen i x-led förhåller sig till stegen i y-led. För varje steg i x-led tas två steg i y-led för varje punkt längs linjen.

k-värdet $2$ innebär en ökning av x-värdet med $1$ och en ökning av y-värdet med $2$. För varje steg $(+1)$ i x-led tas $k$ steg i y-led.

Den räta linjen $y=-2x+4$ har följande graf:

k-värdet $-2$ innebär en ökning av x-värdet $(A-B)$ och en minskning av y-värdet $(B-C)$ med $2$.

Konstanterna $k$ och $m$

Konstanten $k$ kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen. Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, alltså att y-värdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln $x$.

I figuren ovan ser vi i svart den konstanta linjen $y=1$, i grönt $y=x$, och i rött $y=3x$.

Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, och att y-värdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

I figuren ovan ser vi den konstanta linjen $y=1$ i svart, den minskande $y=-x$ i grönt, och minskande $y=-3x$ i rött.

När $k=0$ så har linjen en horisontell lutning som är parallell med x-axeln. Notera att om $k=0$ så kommer inte y-värdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln – y-värdet kommer då att vara detsamma, konstant, oavsett av den oberoende variabelns värde. När k-värdet är $0$, är $y=0x+m$. Vilket är samma sak som $y=m$.

Konstanttermen $m$ bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där $x=0$, alltså där linjen skär y-axeln.

När m-värdet är positivt skär linjen y-axeln ovanför origo och när det är negativt skär linjen y-axeln under origo. När $m=0$ går genom origo, dvs. punkten $(0,\,0)$.

Exempel 3

Ritar vi linjen $y=x+5$ i exempel 1 skär y-axeln i punkten $(0,\,5)$, dvs. den punkt där $x=0$ och $y=5$.

Räkna ut lutning på en rät linje

Givet två punkter på linjen $(x_1, y_1)$ och $(x_2, y_2)$ så kan vi med följande formel räkna fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel 4

Antag den räta linjen $y=x+5$ med följande värdetabell.

Räkna ut var linjer skär $y$-axeln

Härnäst ska vi visa två metoder för att ta reda på $m$-värdet. Den ena metoden kallas för $k$-form och den andra kallas för enpunktsform.

Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna

När vi har två punkter för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation $y=kx+m$, genom att räkna ut $k$-värdet och $m$-värdet.

Exempel

Vi använder samma exempel som för $k$-värdet. Vi har räknat ut $k$-värdet till $1$, med punkterna $(0,\,5)$ och $(3,\,8)$. Vi sätter in $k$-värdet i räta linjens ekvation för att lösa ut $m$:

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Vi vet två punkter på linjen, vi väljer någon av dem och sätter in i ekvationen. Vi får nu en ekvation med endast en variabel, vilket vi kan lösa. Exempelvis punkten $(3,\,8)$:

$$m=8-3=5$$

Konstanterna är nu beräknade till $k=1$ och $m=5$. Vår räta linjens ekvation är:

$$y=kx+m=1\cdot x+5=x+5$$

Linjens ekvation är $y=x+5$

Exempel

I följande geogebra - graf kan man studera lutningen ($k$-värde) och skärning med $y$-axeln ($m$-värde) genom att dra i glidarna och flytta punkterna ($\color{Blue}{\text{A}}$ och $\color{Blue}{\text{B}}$) som beräknar $k$.

Linjens ekvation i enpunktsform

När vi känner till $k$-värdet och en punkt för en rät linje kan vi bestämma denna räta linjes ekvation med hjälp av enpunktsformen:

$$y-y_1=k(x-x_1)$$

Exempel

Med samma exempellinje som tidigare har vi $k=1$ och punkten $(x_1,y_1)=(3, 8)$. För alla punkter längs den räta linjen gäller sambandet

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$

Multiplicera upp nämnaren. Det ger räta linjens ekvation i enpunktsform.

$$1\cdot(x-3)=y-8$$

Räta linjens ekvation i $k$-form fås genom att lösa ut $y$

$$y=x-3+8=x+5$$

Proportionalitet

Om ekvationen $y=kx+m$ saknar $m$-värde, dvs. $m=0$, skrivs den räta linjen

$$y=kx$$

Detta specialfall kallas proportionalitet. Det betyder att de två variablernas förhållande är konstant. Man säger att $y$ motsvarar en konstant multipel av $x$. Om linjen är proportionell så är $k=\frac{y}{x}$. ($k$ kan vara positiv eller negativ)

T.ex. om man köper en vara som kostar $a$ kr/kg beräknas kostnaden med $y=ax$. $x$-axeln representerar antal kg av varan och kostnaden på $y$-axeln.

Räta linjens ekvation i allmän form

Den allmänna formen är $ax+by+c=0$ där både $a$ och $b$ är skilda från $0$. Om man dividerar båda sidor med $b$ och flyttar $ax$ till vänstersidan erhålles $y=(-ax)/b-c/b$ det medför att
$$k=-\frac{a}{b}\, \text{och}\;m=-\frac{c}{b}$$

Räta linjens ekvation (Matte 1, Funktioner) – Matteboken (2024)

Räta linjens ekvation skrivs

Exempel 1

Exempel 2

Konstanterna \(k\) och \(m\)

Exempel 3

Räkna ut lutning på en rät linje

Exempel 4

Räkna ut var linjer skär \(y\)-axeln

Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna

Exempel

Exempel

Linjens ekvation i enpunktsform

Exempel

Proportionalitet

Räta linjens ekvation i allmän form

\(x\)	\(y\)
0	5
1	6
2	7
3	8
4	9